(cOsAsDiveRTIdAs:183251) * Las matemáticas nos engañan
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viernes, 25 de febrero de 2011* Las matemáticas nos engañan
1.- Supongamos que tenemos la siguiente ecuación matemática:
a = b
donde a puede ser cualquier número positivo.
2.- Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por a, la validez de la ecuación se mantiene:
a² = ab
3.- Lo mismo ocurre si sumamos (a² - 2ab) a ambos lados. En este caso, nos quedará la siguiente ecuación:
a² + (a² - 2ab) = ab + (a² - 2ab)
4.- Simplificando tenemos que:
2a² - 2ab = a² - ab
5.- Ahora sacamos factor común y nos queda lo siguiente:
2a(a - b) = a(a - b)
6.- Si simplificamos (a - b) tenemos que:
2a = a
7.- Y si ahora dividimos ambos términos por a el resultado es:
2 = 1
Lo cual parece ciertamente una afirmación falsa... ¿Donde nos hemos equivocado?
.
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Solucion
El error está sutilmente oculto en el enunciado del problema. Inicialmente se nos dice que a = b, por lo que el término que simplificamos en el paso 6 (a - b) será cero. Está claro que no podemos dividir por cero para simplificar la ecuación, por lo que este sería el paso incorrecto de nuestra deducción.
a = b
donde a puede ser cualquier número positivo.
2.- Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por a, la validez de la ecuación se mantiene:
a² = ab
3.- Lo mismo ocurre si sumamos (a² - 2ab) a ambos lados. En este caso, nos quedará la siguiente ecuación:
a² + (a² - 2ab) = ab + (a² - 2ab)
4.- Simplificando tenemos que:
2a² - 2ab = a² - ab
5.- Ahora sacamos factor común y nos queda lo siguiente:
2a(a - b) = a(a - b)
6.- Si simplificamos (a - b) tenemos que:
2a = a
7.- Y si ahora dividimos ambos términos por a el resultado es:
2 = 1
Lo cual parece ciertamente una afirmación falsa... ¿Donde nos hemos equivocado?
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Solucion
El error está sutilmente oculto en el enunciado del problema. Inicialmente se nos dice que a = b, por lo que el término que simplificamos en el paso 6 (a - b) será cero. Está claro que no podemos dividir por cero para simplificar la ecuación, por lo que este sería el paso incorrecto de nuestra deducción.
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